Greffe de peau

Problème adapté de la banque nationale de sujets https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Un patient « grand brûlé » doit bénéficier d'une greffe de peau. Pour recouvrir la brûlure, le chirurgien estime qu'un greffon de peau d'une surface de \(8 ~\text{cm}^2\) est nécessaire. Un échantillon de \(20~ \text{mm}^2\) de peau saine est prélevé sur le patient et mis en culture. Ainsi cet échantillon augmente, par division cellulaire, de \(15~\%\) par jour.

La fonction \(S\) définie sur l'intervalle \([0 ~; +\infty[\) par \(S(t)=0{,}2~\times1{,}15^t\) donne la mesure en \(\text{cm}^2\) de la surface de peau qui devrait être obtenue à partir de l'échantillon, au bout de \(t\) jour(s) de culture.

1. Calculer \(S(0)\).
Pourquoi ce résultat est-il cohérent avec les données de l'énoncé ?
2. Déterminer la surface de peau qui devrait être obtenue à partir de l'échantillon après \(17{,}5\) jours de mise en culture. Donner le résultat au \(\text{cm}^2\) près.
3. Justifier que la fonction \(S(t)=0{,}2~\times1{,}15^t\) est croissante sur l'intervalle \([0 ~; +\infty[\).
4. On cherche le temps \(t_\text{greffe}\) à partir duquel la surface de peau à greffer devrait être suffisante, c'est-à-dire supérieure ou égale à \(8 ~\text{cm}^2\).
    a. À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de \(t_\text{greffe}\) à un jour près.
    b. Le chirurgien souhaite davantage de précision pour programmer l'opération. Déterminer un encadrement de \(t_\text{greffe}\) à une heure près.